Cálculo Multivariable - Cálculo Vectorial

En esta entrada encontrará los videos de cada una de las clases además de los ejercicios trabajados en la clase de Cálculo Multivariable. Inicialmente estará compuesta por las clases de Cálculo Vectorial, más adelante se irán actualizando las demás secciones del curso ya trabajadas.

Cálculo Vectorial - Clase 1

Temas vistos:

Definición de campo vectorial. Gráficas.
Ejemplos de campos vectoriales. Campos vectoriales en Física y campos vectoriales que cumplen la ley del cuadrado inverso.
Definición de campo vectorial conservativo. Teorema de caracterización en el plano y cálculo de funciones potenciales en el plano.
Teorema para campos vectoriales conservativos en el espacio.

Videos

Grupo K

Acceda a las notas de la clase en el link: CamposVectoriales_Clase1

Grupo E

Grupo N

Definiciones y teoremas importantes

Un campo vectorial sobre una región plana $R$ es una función $\bf F$ que asigna un vector ${\bf F}(x,y)$ a cada punto en $(x,y)\in R.$ Análogamente, un campo vectorial sobre una región sólida $Q$ en el espacio es una función $\bf F$ que asigna un vector ${\bf F}(x,y,z)$ a cada punto en $Q$.
Sea ${\bf r}(t)=x(t){\bf i}+y(t){\bf j}+z(t){\bf k}$ un vector posición. El campo vectorial $\bf F$ es un campo cuadrático inverso si $${\bf F}(x,y,z)=\dfrac{k}{{\left|\left|{\bf r}\right| \right|}^{2}}{\bf u}$$ donde $k$ es un número real y $\bf u=\frac{r}{\left| \left| r \right| \right| }$ es un vector unitario en la dirección de $\bf r.$

Un campo vectorial $\bf F$ es llamado conservativo si existe una función diferenciable $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$ La función $f$ es llamada función potencial para $\bf F.$
Teorema [Criterio para campos vectoriales conservativos en el plano]: Sean $M$ y $N$ dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco abierto. El campo vectorial dado por ${\bf F}(x,y)=M{\bf i}+N{\bf j}$ es conservativo si y sólo si $$\dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{\partial M}{\partial y}.$$
Sea $${\bf F}(x,y,z)=M{\bf i}+N{\bf j}+P{\bf k}$$ un campo vectorial para el cual las primeras derivadas parciales existen. Se define la divergencia de ${\bf F},$ $\text{div }{\bf F}$ como $$\text{div }{\bf F}(x,y,z)=\dfrac{\partial M}{\partial x}+\dfrac{\partial N}{\partial y}+\dfrac{\partial P}{\partial z}.$$
Similarmente se define el rotacional de ${\bf F},$ $\text{rot }{\bf F}$ como $$\text{rot }{\bf F}(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial z} \right){\bf i}+\left( \dfrac{\partial M}{\partial z}-\dfrac{\partial P}{\partial x} \right){\bf j}+\left( \dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y} \right){\bf k}.$$

Cuando $\text{rot }{\bf F}=0$ se dice que ${\bf F}$ es un campo irrotacional.
Teorema [Criterio para campos vectoriales conservativos en el espacio]: Suponga que $M,$ $N$ y $P$ tienen primeras derivadas parciales continuas en una esfera abierta $Q$ en el espacio. El campo vectorial dado por ${\bf F}(x,y,z)=M{\bf i}+N{\bf j}+P{\bf k}$ es conservativo si y solo si $\text{rot\ }{\bf F}=0,$ es decir, ${\bf F}$ es conservativo si y solo si $$\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial z},\ \dfrac{\partial P}{\partial x}=\dfrac{\partial M}{\partial z},\ \dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{\partial M}{\partial y}.$$